Takafumi Horiuchi

Bewegungsanalyse einer Klaviermechanik

Januar 2020

Überblick

Die Mechanik eines Flügels ist ein Hebelsystem, das einen Tastenanschlag auf einen Hammer überträgt. Dieser bewegt sich nach oben, schlägt eine Saite an und versetzt sie in Schwingung. In diesem Projekt wurde die Mechanik als 3D-Modell in SolidWorks* nachgebildet. Mithilfe einer Bewegungsanalyse wurde untersucht, wie die Betätigung der Taste in Hammergeschwindigkeit und Reaktionskraft an der Saite umgesetzt wird.

Die Mechanik wurde anhand von Referenzbildern von Grund auf modelliert und anschließend in zwei Analysen untersucht: zum Verhältnis zwischen der Abwärtsgeschwindigkeit der Taste und der Aufwärtsgeschwindigkeit des Hammers sowie zum Verhältnis zwischen der auf die Taste ausgeübten Kraft und der Reaktionskraft an der Saite. Die Simulationsergebnisse wurden mit theoretischen Werten verglichen, die aus den Abmessungen und Drehpunkten des Modells berechnet wurden, um die Übertragung von Bewegung und Kraft zu prüfen.

* SolidWorks ist ein 3D-CAD-System mit Werkzeugen für die Strukturanalyse von Bauteilen und die Bewegungsanalyse von Mechanismen.

  1. Titelfolie: „Motion Analysis of the Piano Action“.
  2. Foto des Inneren eines Flügels mit der Reihe der Mechaniken hinter den Tasten.
  3. Ein 3D-Modell zeigt, wie sich die Bauteile der Mechanik beim Drücken einer Taste gemeinsam bewegen.
  4. Schnittmodell der Klaviermechanik: Beim Drücken einer Taste hebt sich der Hammer und schlägt die Saite an.
  5. Nachzeichnen einer Schnittzeichnung, um jedes Bauteil in SolidWorks von Grund auf zu modellieren.
  6. Die fertiggestellte 3D-Baugruppe der Klaviermechanik in SolidWorks.
  7. Bauteilnamen und Berechnung der Freiheitsgrade des Modells: Nach Anwendung der Bindungen verbleiben 7 Freiheitsgrade.
  8. Die beiden Analysethemen: lineare Geschwindigkeiten von Taste und Hammer sowie der Zusammenhang zwischen Tastenkraft und Reaktionskraft an der Saite.
  9. Beobachtungspunkte für Analyse 1: die Abwärtsgeschwindigkeit am Tastenende und die Aufwärtsgeschwindigkeit des Hammers.
  10. Diagramm zur Vereinfachung der Klaviermechanik in drei rotierende Elemente.
  11. Herleitung des Verhältnisses zwischen Tasten- und Hammergeschwindigkeit aus den Verhältnissen von Ausgangs- zu Eingangsradius dreier rotierender Elemente.
  12. Analysebedingungen: Von 1 bis 2 Sekunden wirken 5 Newton am Tastenende nach unten.
  13. Diagramme der Tasten- und Hammergeschwindigkeit mit Spitzenwerten von 1.027 beziehungsweise 4.284 Millimetern pro Sekunde.
  14. Vergleich der aus den gemessenen Radien berechneten theoretischen Hammergeschwindigkeit von 4.614 Millimetern pro Sekunde mit der simulierten Geschwindigkeit von 4.284 Millimetern pro Sekunde.
  15. Bedingungen für Analyse 2: Eine nach unten gerichtete Kraft von 15 Newton wirkt auf die Taste; beobachtet wird die Reaktionskraft auf der Saitenseite.
  16. Vergleich zwischen der maximalen Reaktionskraft an der Saite von 31 Newton und dem theoretischen Wert von 31,1 Newton nach dem Hebelgesetz.
  17. Literaturverzeichnis zu mechanischen Modellen der Klaviermechanik.
Originalfolien auf Englisch.

Ein Modell der Klaviermechanik für die Analyse aufbauen

Wie ein Tastenanschlag den Hammer bewegt

Die Klaviermechanik wandelt die Abwärtsbewegung einer Taste in die Aufwärtsbewegung eines Hammers um. Beim Drücken der Taste bewegen sich Pilote, Hebeglied, Stoßzunge und Repetierschenkel gemeinsam und heben den Hammer, bis er die Saite anschlägt. Die spielende Person führt nur einen Tastenanschlag aus; im Inneren drehen sich jedoch mehrere Bauteile um unterschiedliche Drehpunkte und übertragen die Bewegung durch Kontakt.

Das 3D-Modell umfasst Taste, Hammer, Stoßzunge, Hebeglied, Repetierschenkel, Pilote, Dämpfer, Dämpferhebel und Draht sowie den tragenden Rahmen. Um die Bewegung zu modellieren, mussten für jedes Bauteil der Drehpunkt und die Kontaktstellen zu anderen Bauteilen festgelegt werden.

Das 3D-Modell aus einer Schnittzeichnung erstellen

Jedes Bauteil wurde von Grund auf in 3D modelliert, indem sein Umriss anhand einer Schnittzeichnung der Klaviermechanik nachgezeichnet wurde. Anschließend wurden die Teile mit festen Verbindungen und Drehgelenken entsprechend der realen Mechanik zusammengesetzt. Durch die Definition dieser Beziehungen entstand aus der Geometrie ein Analysemodell, das sich unter einwirkenden Kräften bewegen konnte.

SolidWorks-Bildschirmansicht mit einer halbtransparenten Schnittzeichnung der Klaviermechanik, über deren Umrissen die 3D-Bauteile modelliert wurden. Links sind die Windows-Taskleiste und der Komponentenbaum zu sehen.
Eine Schnittzeichnung diente als halbtransparente Vorlage zum Nachzeichnen und Modellieren der Bauteile in SolidWorks.
SolidWorks unter Windows mit Taskleiste und Komponentenbaum links sowie dem 3D-Modell der Klaviermechanik in der Mitte.
Das fertiggestellte 3D-Modell der Klaviermechanik in SolidWorks.

Die Freiheitsgrade der Baugruppe überprüfen

Ohne den festen Rahmen enthält die Baugruppe neun bewegliche Bauteile mit insgesamt 54 ungebundenen Freiheitsgraden. Das Fixieren von Pilote und Draht an anderen Bauteilen entfernt 12 Freiheitsgrade. Drehgelenke an den übrigen sieben Bauteilen entfernen weitere 35. Damit verbleiben der CAD-Baugruppe 7 Freiheitsgrade:

54 − 12 − 35 = 7

Auch die Bindungsdiagnose von SolidWorks meldete 7 geschätzte und 7 tatsächliche Freiheitsgrade sowie 0 redundante Bindungen. Damit war bestätigt, dass die für dieses Projekt definierten Bauteile und Bindungen wie vorgesehen zusammengesetzt waren. Die Zahl der Freiheitsgrade jeder realen Klaviermechanik ist damit nicht bestimmt.

Beschriftetes Modell der Klaviermechanik mit Berechnung der Freiheitsgrade: Von 54 entfallen 12 durch feste Verbindungen und 35 durch Drehgelenke; 7 bleiben übrig.
Bauteilnamen und Bindungen der Baugruppe. Die Diagnose von SolidWorks meldete 7 Freiheitsgrade und 0 redundante Bindungen.

Zwei Analysen der Tastenbetätigung

Das Modell wurde in zwei getrennten Analysen untersucht. Analyse 1 verglich die Tastengeschwindigkeit mit der Hammergeschwindigkeit. Analyse 2 verglich die auf die Taste ausgeübte Kraft mit der Reaktionskraft an der Saite. Durch die Trennung dieser Eingangs- und Ausgangsgrößen ließ sich das komplexe Gestänge mithilfe geometrischer Geschwindigkeitsverhältnisse und des Hebelgesetzes leichter analysieren.

Zum Vergleich wurde die Mechanik auf rotierende Elemente vereinfacht und theoretisch untersucht. Eine Übereinstimmung von Theorie und Simulation würde darauf hinweisen, dass die Bewegung des Modells mit seinen festgelegten Abmessungen und Bindungen vereinbar ist.

Zwei Diagramme stellen Tasten- und Hammergeschwindigkeit in Analyse 1 sowie die auf die Taste ausgeübte Kraft und die Reaktionskraft an der Saite in Analyse 2 gegenüber.
Die beiden Vergleiche von Eingangs- und Ausgangsgrößen: Tasten- und Hammergeschwindigkeit in Analyse 1 sowie Kraft auf die Taste und Reaktionskraft an der Saite in Analyse 2.

Analyse 1: Von der Tasten- zur Hammergeschwindigkeit

Für die Geschwindigkeitsberechnung wurde die Mechanik auf drei starre Körper vereinfacht: die Taste, einen Zwischenmechanismus um das Hebeglied und den Hammer. Indem die Bewegung als Folge von Kontakten von ① bis ③ betrachtet wurde, ließ sich das Gestänge als drei aufeinanderfolgende Drehstufen analysieren.

Die Klaviermechanik ist farblich in drei starre Körper unterteilt: ① die Taste, ② der Zwischenmechanismus um das Hebeglied und ③ der Hammer.
Das vereinfachte Modell besteht aus drei starren Körpern: ① der Taste, ② dem Zwischenmechanismus und ③ dem Hammer.

Alle Punkte eines starren Körpers haben dieselbe Winkelgeschwindigkeit. Bezeichnet r den Abstand vom Drehpunkt und v die lineare Geschwindigkeit an diesem Punkt, gilt v = ωr. Unter der Annahme, dass die Geschwindigkeit an jeder Kontaktstelle verlustfrei zwischen den Körpern übertragen wird, lässt sich die Hammergeschwindigkeit berechnen: Die Verhältnisse von Ausgangs- zu Eingangsradius der drei Stufen werden miteinander und anschließend mit der Tastengeschwindigkeit multipliziert.

vhammer = (r1′ r2′ r3′ / r1 r2 r3) vkey

Diagramm der Abstände von jedem der drei Drehpunkte zu seinen Eingangs- und Ausgangspunkten, bezeichnet mit r1, r1 Strich, r2, r2 Strich, r3 und r3 Strich.
Die Abstände vom jeweiligen Drehpunkt zu den Eingangs- und Ausgangspunkten definieren die Radien. Das Produkt der drei Verhältnisse von Ausgangs- zu Eingangsradius ergibt das gesamte Geschwindigkeitsverhältnis.

Eingangsbedingungen und Ergebnisse

In SolidWorks Motion Analysis wurde am Ende der Taste eine nach unten gerichtete Kraft von 5 N angesetzt. Aufgezeichnet wurden die linearen Geschwindigkeiten von Tastenende und Hammer. Unmittelbar nach Einsetzen der Kraft erreichten sie Höchstwerte von 1.027 mm/s beziehungsweise 4.284 mm/s. Daraus ergibt sich in der Simulation ein Verhältnis von Hammer- zu Tastengeschwindigkeit von etwa 4,17.

Tasten- und Hammergeschwindigkeit über der Zeit, mit Spitzenwerten kurz nach Einsetzen der Kraft von 1.027 beziehungsweise 4.284 Millimetern pro Sekunde.
Tasten- und Hammergeschwindigkeit erreichen ihre Höchstwerte kurz nach Einsetzen der Kraft. Der Hammer erreicht die höhere Geschwindigkeit.
Höchstgeschwindigkeiten in Analyse 1
Größe und MethodeGeschwindigkeit
Taste (Simulation)1.027 mm/s
Hammer (Theorie)4.614 mm/s
Hammer (Simulation)4.284 mm/s

Vergleich mit der Theorie

Die gemessenen Radien betrugen r1 = 200 mm, r1′ = 88 mm, r2 = 53 mm, r2′ = 78 mm, r3 = 16 mm und r3′ = 111 mm. Eingesetzt ergeben diese Werte ein idealisiertes Geschwindigkeitsverhältnis von etwa 4,49. Bei einer Tastengeschwindigkeit von 1.027 mm/s beträgt die berechnete Hammergeschwindigkeit 4.614 mm/s.

Die sechs für die Berechnung des Geschwindigkeitsverhältnisses verwendeten Radien, am 3D-Modell in SolidWorks markiert.
Die sechs am 3D-Modell gemessenen Radien, aus denen die theoretische Hammergeschwindigkeit von 4.614 mm/s berechnet wurde.

Die simulierte Hammergeschwindigkeit von 4.284 mm/s lag etwa 7 % unter dem theoretischen Wert und zeigte dabei eine ähnliche Geschwindigkeitsverstärkung. Die theoretische Berechnung verwendet drei idealisierte starre Körper, während die Simulation die einzelnen Bauteile abbildet. Aus der numerischen Abweichung allein lässt sich ihre Ursache nicht ableiten.

Analyse 2: Von der Tastenkraft zur Reaktionskraft an der Saite

In der zweiten Analyse wurde auf die Tastenoberfläche eine nach unten gerichtete Kraft von 15 N aufgebracht und die Reaktionskraft an der Saite beim Aufprall aufgezeichnet. Die Tastenkraft Fkey begann bei 1,0 Sekunden anzusteigen und erreichte 15 N. Die Reaktionskraft Vstring erreichte beim Auftreffen des Hammers einen Spitzenwert von 31 N.

Schematisches Diagramm der Tastenkraft F key über der Zeit. Sie beginnt bei 1 Sekunde anzusteigen, bleibt bei 15 Newton und kehrt anschließend auf null zurück.
Die auf die Taste ausgeübte Kraft Fkey setzt bei 1,0 Sekunden ein und erreicht 15 N.
Schematisches Diagramm der Reaktionskraft V string an der Saite über der Zeit, mit einem Spitzenwert von 31 Newton beim Aufprall.
Die Reaktionskraft an der Saite Vstring erreicht beim Aufprall einen Spitzenwert von 31 N.

Zum Vergleich wurde mit den Hebelarmen auf Tasten- und Hammerseite eine vereinfachte Berechnung nach dem Hebelgesetz durchgeführt.

Vstring = (15 × 195) / 94 = 31.1 N

Mit Hebelarmen von 195 mm auf der Eingangsseite und 94 mm auf der Saitenseite ergibt die statische Vergleichsrechnung nach dem Hebelgesetz 31,1 N. Das sind 0,1 N mehr als der simulierte Spitzenwert von 31 N. Unter welchen Bedingungen diese statische Rechnung auf die kurzzeitige Kraftspitze beim Aufprall übertragbar ist, muss noch bestätigt werden.

Kräftegleichgewichtsdiagramm mit dem 195 Millimeter langen Hebelarm auf der Tastenseite und dem 94 Millimeter langen Hebelarm auf der Saitenseite.
Eine statische Vergleichsrechnung nach dem Hebelgesetz ergibt bei einer Tastenkraft von 15 N und den angegebenen Hebelarmen 31,1 N, nahe dem simulierten Spitzenwert von 31 N.

Simulation und Theorie vergleichen

Ergebnisse der beiden Vergleiche

In Analyse 1 betrug die theoretische Hammergeschwindigkeit 4.614 mm/s, gegenüber 4.284 mm/s in der Simulation. In Analyse 2 lag der statische Vergleichswert nach dem Hebelgesetz bei 31,1 N, gegenüber einem simulierten Spitzenwert von 31 N. Beide Vergleiche zeigten eine gute Übereinstimmung zwischen dem 3D-Modell und den theoretischen Berechnungen.

Die Unterschiede einordnen

Die theoretische Berechnung reduziert die Mechanik auf drei starre Körper und nimmt an, dass Bewegung und Kraft an deren Kontaktstellen verlustfrei übertragen werden. Die Simulation bildet dagegen die einzelnen Bauteile ab. Diese unterschiedlichen Darstellungen sind für die Interpretation der Ergebnisse wichtig. Um die verbleibende Abweichung auf Energieverlust oder Materialverformung zurückzuführen, müssten jedoch die Simulationseinstellungen überprüft werden.

Fazit

Die 3D-Simulation stimmte bei Hammergeschwindigkeit und Reaktionskraft an der Saite weitgehend mit den theoretischen Vergleichswerten überein. Im Rahmen dieser Vergleiche bildete das aus einer Schnittzeichnung erstellte Modell die Übertragung von Bewegung und Kraft so ab, wie es aus der vorgegebenen Geometrie und den Bindungen zu erwarten war.

Das Projekt verband mehrere Modellierungsschritte: eine Schnittzeichnung interpretieren, Beziehungen zwischen Bauteilen in CAD-Bindungen übersetzen und die Baugruppe zu einem mechanischen Modell vereinfachen, das zur jeweiligen Analyse passt.