堀内贵文

钢琴击弦机的运动分析

2020年1月

概述

在三角钢琴内部，按下琴键的动作经由多重连杆逐级传递，最终使琴槌向上弹起，转化为琴弦的振动。这套让琴键被按下时能够带动琴槌击弦的杠杆系统，称为「击弦机」。本项目在SolidWorks*上把这套击弦机重建为3D模型，并用运动分析考察琴键上的输入如何转化为琴槌的速度和琴弦的反作用力。

分析之前，先依据参考图片从零开始对琴键机构做了3D建模，再用这个模型进行了两项运动分析：一项是下沉的琴键与弹起的琴槌之间的速度关系，另一项是施加在琴键上的力与作用到琴弦上的力之间的关系。3D模型上得到的仿真数值，与依据尺寸和支点位置推算出的理论值相互对照，以确认运动与力在模型内部是怎样传递的。

* SolidWorks：3D CAD系统。在设计阶段即可进行考察零件强度的结构分析，以及确认运动情况的运动分析。

  1. 标题页：“Motion Analysis of the Piano Action”。
  2. 三角钢琴内部的照片，介绍排列在琴键后方的击弦机构。
  3. 3D模型，展示按下琴键时击弦机各部分如何联动。
  4. 击弦机的剖面模型，展示按下琴键后琴槌抬起并击打琴弦。
  5. 描摹剖面资料的轮廓、在SolidWorks中从零建模各个零件的过程。
  6. 在SolidWorks中完成的击弦机3D装配体。
  7. 模型的零件名称与自由度计算，显示施加约束后自由度为7。
  8. 两项分析的主题：琴键与琴槌的线速度，以及琴键输入与琴弦反作用力的关系。
  9. 分析1的观测点：琴键末端的向下速度与琴槌的向上速度。
  10. 将钢琴机构简化为三个转动构件的示意图。
  11. 由三个转动构件的半径比推导琴键速度与琴槌速度关系式的示意图。
  12. 分析条件：在1秒至2秒间，于琴键末端向下施加5牛顿。
  13. 琴键与琴槌线速度的曲线图。峰值速度分别为每秒1027毫米与4284毫米。
  14. 根据实测半径计算的理论琴槌速度为每秒 4,614 毫米，与每秒 4,284 毫米的仿真速度进行比较。
  15. 分析2的条件：向琴键向下施加15牛顿，观测琴弦一侧的反作用力。
  16. 琴弦反作用力最大值31牛顿，与依杠杆原理求得的理论值31.1牛顿的对比。
  17. 有关击弦机力学模型的参考文献一览。
原始汇报幻灯片（英语）。

把击弦机做成可供分析的3D模型

把一次触键变成一次击弦的机构

击弦机是把琴键的向下运动转换为琴槌向上运动的机构。按下琴键后，顶杆螺钉、联动杆、击弦机顶杆、复振杠杆等随之联动，琴槌被抬起并击打琴弦。演奏者看到的只是一次触键，而在其内部，多个零件分别绕着不同的支点转动，在彼此接触中把运动传递下去。

三维模型包含琴键、琴槌、顶杆、联动杆、复振杠杆、顶杆螺钉、制音器、制音杠杆、金属丝及其支撑框架。为了模拟运动，需要明确每个零件的支点，以及它与其他零件的接触位置。

从剖面图做出3D模型

本项目没有采用现成的CAD数据，而是以击弦机的剖面资料为底图描摹各零件的轮廓，逐个建立3D模型。随后把零件组装为装配体，并设定与实际机构相对应的固定关系和转动关系。这道工序把一个供人观看形状的模型，变成了一个可以施力、可以运动的分析模型。

在SolidWorks界面中，把作为参考的钢琴击弦机剖面图设为半透明底图，并沿其轮廓建立3D模型。左侧显示着Windows任务栏与零件树。
把作为参考的剖面图置于背面作半透明底图，沿其轮廓在SolidWorks中建立了3D模型。
在Windows上运行的SolidWorks界面。左侧是Windows任务栏与零件树，中央是所建立的钢琴击弦机3D模型。
在SolidWorks上实际建立的击弦机3D模型。

以自由度确认约束条件

除去固定的框架，可动零件共9个，若无约束则合计具有54个自由度。把顶杆螺钉与金属丝固定到其他零件上，减少12个自由度；再以转动副约束其余7个零件，又减少35个。因此，该CAD装配体的自由度为7，如下所示。

54 − 12 − 35 = 7

SolidWorks的约束诊断也显示，估计自由度与实际自由度均为7，冗余约束为0。这并不是断定实物击弦机整体自由度的数值，而是确认本项目所设定的零件构成与约束条件确实按预期装配完成。

标注了零件名称的击弦机模型及自由度计算：54 个初始自由度，减去固定连接消除的 12 个和转动副消除的 35 个，剩余 7 个。
零件名称与约束条件。SolidWorks的诊断同样显示模型的自由度为7、冗余约束为0。

两项分析——琴键输入如何被转换

模型的行为分两项分析来考察。分析1是「琴键运动的快慢如何转换为琴槌的快慢」，分析2是「施加在琴键上的力如何以琴弦一侧的反作用力呈现」。每次只截取一组输入与输出，就能把复杂连杆机构的行为，化为可用几何速度比与杠杆力平衡来说明的形式。

比较的基准，是把机构置换为简单转动构件后的理论计算。理论值与仿真值若相接近，至少可以判断模型内部的运动，符合由所设定的尺寸与约束条件所应当期待的关系。

两幅示意图，表示分析1对应琴键与琴槌的线速度，分析2对应施加在琴键上的力与琴弦的反作用力。
两项分析的输入与输出。分析1比较琴键与琴槌的线速度，分析2比较施加在琴键上的力与琴弦的反作用力。

分析1——琴键的速度在琴槌处被放大了多少

在速度分析中，把复杂的击弦机简化为琴键、以联动杆为中心的中间机构、琴槌这三个在接触中传递运动的刚体。把运动理解为依次从图中的①传到③，多零件构成的机构便可作三级转动来计算。

把击弦机以颜色区分为三个刚体的示意图：①琴键、②以联动杆为中心的中间机构、③琴槌。
为便于分析，把机构简化为①琴键、②中间机构、③琴槌这三个刚体。

同一刚体上的各点具有相同的角速度。如果 r 为某点到支点的距离，v 为该点的线速度，则 v = ωr。假设速度在接触点处无损耗地传递，将三级机构各自的输出半径与输入半径之比相乘，再乘以琴键速度，即可求得琴槌速度。

vhammer = (r1′ r2′ r3′ / r1 r2 r3) vkey

针对三个刚体，把各支点到输入点与输出点的距离标为r1、r1撇、r2、r2撇、r3、r3撇的示意图。
每个支点到输入点和输出点的距离构成相应的半径。将三级机构各自的输出半径与输入半径之比相乘，便得到整体速度比。

输入条件与观测结果

在SolidWorks Motion Analysis中，于琴键末端向下施加5 N，观测琴键末端与琴槌的线速度。开始施力后不久出现的峰值速度，琴键为1,027 mm/s，琴槌为4,284 mm/s。也就是说，在仿真中琴槌的速度约为琴键的4.17倍。

琴键与琴槌速度随时间变化的两幅曲线图，输入开始后不久的峰值分别标为每秒1027毫米与4284毫米。
琴键与琴槌的线速度。两者都在输入开始后随即达到最大值，且琴槌一侧的速度被放大。
分析1的峰值速度
观测·计算对象速度
琴键（仿真）1,027 mm/s
琴槌（理论计算）4,614 mm/s
琴槌（仿真）4,284 mm/s

与理论值的比较

从模型上量得的半径为r1 = 200 mm、r1′ = 88 mm、r2 = 53 mm、r2′ = 78 mm、r3 = 16 mm、r3′ = 111 mm。代入公式后，理想化的速度比约为4.49倍，据此可预测：对应1,027 mm/s的琴键速度，琴槌速度应为4,614 mm/s。

在SolidWorks的3D模型上，标出用于速度比计算的六个半径实测值的示意图。
在3D模型上量得的六个半径。由这些数值算出琴槌的理论速度4,614 mm/s。

仿真的琴槌速度为 4,284 mm/s，比理论值低约 7%，但两者呈现出相近的速度放大程度。理论计算将机构简化为三个理想刚体，而仿真分别表示各个零件。仅凭数值差异，尚不能确定差异的成因。

分析2——琴键上的力在琴弦一侧如何呈现

第二项分析在琴键表面向下施加15 N，观测击弦时出现在琴弦一侧的反作用力。琴键一侧的输入Fkey自1.0秒起上升至15 N，而在击弦的瞬间，琴弦一侧的反作用力Vstring出现了最大31 N的峰值。

琴键输入F key随时间变化的说明用曲线图。自1秒起上升，维持15牛顿后回到0牛顿。
琴键一侧的输入Fkey。自1.0秒起施力，输入为15 N。
琴弦一侧反作用力V string随时间变化的说明用曲线图，在击弦的瞬间出现31牛顿的尖锐峰值。
琴弦一侧的反作用力Vstring。在击弦的瞬间录得最大31 N。

作为对照，利用琴键侧与琴槌侧的力臂长度，进行了简化的杠杆平衡计算。

Vstring = (15 × 195) / 94 = 31.1 N

输入侧力臂取 195 mm、琴弦侧力臂取 94 mm，所得静态杠杆平衡对照值为 31.1 N，比仿真峰值 31 N 高 0.1 N。要将这一静态计算用于击弦瞬间的反作用力峰值，其适用条件仍需确认。

力平衡示意图，标出自琴键支点至输入点的195毫米与至琴弦一侧作用点的94毫米。
以 15 N 的琴键输入和对应力臂进行静态杠杆平衡计算，得到对照值 31.1 N，与仿真峰值 31 N 接近。

仿真结果与理论值的对照

两项比较的结果

分析 1 中，琴槌速度的理论值为 4,614 mm/s，仿真值为 4,284 mm/s。分析 2 中，静态杠杆平衡的对照值为 31.1 N，仿真峰值为 31 N。在这两项比较中，三维模型的仿真结果与理论计算均较为接近。

如何解读差异

理论计算将击弦机简化为三个刚体，并假定运动与力在接触点处无损耗地传递。仿真则分别表示各个零件。这种建模方式的区别有助于解读结果，但要将剩余差异归因于能量损耗或材料变形，还需确认仿真设置。

结论

在琴槌速度与琴弦反作用力的比较中，三维仿真与理论对照值较为接近。在这些比较的范围内，根据剖面图建立的模型再现了由指定几何尺寸与约束条件所预期的运动和力的传递。

这个项目贯通了建模的多个阶段：解读剖面图，将零件之间的关系转化为 CAD 约束，再针对不同分析将装配体简化为相应的力学模型。