堀內貴文

鋼琴擊弦機的運動分析

2020年1月

概述

平台鋼琴的擊弦機是一套槓桿系統，將按鍵動作傳至琴槌，使琴槌抬起擊打琴弦，令其振動。本專案以 SolidWorks* 重建擊弦機的 3D 模型，並透過運動分析，探討琴鍵輸入如何轉化為琴槌速度與琴弦反作用力。

我們依參考圖片從零建立機構模型，再分別進行兩項分析：琴鍵向下速度與琴槌向上速度的關係，以及琴鍵施力與琴弦反作用力的關係。模擬結果與依模型尺寸、支點位置計算的理論值比較，以檢查模型如何傳遞運動與力量。

* SolidWorks 是 3D CAD 系統，包含零件結構分析與機構運動分析工具。

  1. 標題頁：「Motion Analysis of the Piano Action」。
  2. 平台鋼琴內部的照片，介紹排列在琴鍵後方的擊弦機構。
  3. 3D模型，呈現按下琴鍵時擊弦機各部分如何連動。
  4. 擊弦機的剖面模型，呈現按下琴鍵後琴槌抬起並擊打琴弦。
  5. 描摹剖面資料的輪廓、在SolidWorks中從零建立各零件模型的過程。
  6. 在SolidWorks中完成的擊弦機3D組合件。
  7. 模型的零件名稱與自由度計算，顯示施加拘束後自由度為7。
  8. 兩項分析的主題：琴鍵與琴槌的線速度，以及琴鍵輸入與琴弦反作用力的關係。
  9. 分析1的觀測點：琴鍵末端的向下速度與琴槌的向上速度。
  10. 將鋼琴機構簡化為三個轉動構件的示意圖。
  11. 由三個轉動構件的半徑比推導琴鍵速度與琴槌速度關係式的示意圖。
  12. 分析條件：在1秒至2秒之間，於琴鍵末端向下施加5牛頓。
  13. 琴鍵與琴槌線速度的曲線圖。尖峰速度分別為每秒1027公釐與4284公釐。
  14. 由實測半徑求得的琴槌速度每秒4614公釐，與分析值每秒4284公釐的比較。
  15. 分析2的條件：對琴鍵向下施加15牛頓，觀測琴弦一側的反作用力。
  16. 琴弦反作用力最大值31牛頓，與依槓桿原理求得的理論值31.1牛頓的比較。
  17. 有關擊弦機力學模型的參考文獻一覽。
原始英文簡報投影片（歷史資料，內容維持原樣）。

把擊弦機做成可供分析的3D模型

把一次觸鍵變成一次擊弦的機構

擊弦機是把琴鍵的向下運動轉換為琴槌向上運動的機構。按下琴鍵後，頂桿螺絲、連動桿、擊弦機頂桿、複振槓桿等隨之連動，琴槌被抬起並擊打琴弦。演奏者看到的只是一次觸鍵，而在其內部，多個零件分別繞著不同的支點轉動，在彼此接觸之中把運動傳遞下去。

3D 模型包含琴鍵、琴槌、頂桿、連動桿、複振槓桿、頂桿螺絲、制音器、制音槓桿與金屬線，以及支撐這些零件的框架。為了模擬動作，必須定義各零件的支點，以及與其他零件接觸的位置。

從剖面圖做出3D模型

各零件以擊弦機的剖面圖為底圖，沿輪廓描繪，再從零建立 3D 模型。接著組裝零件，設定對應實際機構的固定連接與轉動接頭。這些關係讓幾何模型成為能在外力作用下運動的分析模型。

在SolidWorks畫面中，把作為參考的鋼琴擊弦機剖面圖設為半透明底圖，並沿其輪廓建立3D模型。左側顯示著Windows工作列與零件樹。
把作為參考的剖面圖置於背面作半透明底圖，沿其輪廓在SolidWorks中建立了3D模型。
在Windows上執行的SolidWorks畫面。左側是Windows工作列與零件樹，中央是所建立的鋼琴擊弦機3D模型。
在SolidWorks上實際建立的擊弦機3D模型。

檢查組立模型的自由度

扣除固定的框架，可動零件共9個，若無拘束則合計具有54個自由度。把頂桿螺絲與金屬線固定於其他零件，可減少12個自由度；再以轉動接頭拘束其餘7個零件，又減少35個。因此，此CAD組合件的自由度為7，如下所示。

54 − 12 − 35 = 7

SolidWorks 的拘束診斷也顯示估計與實際自由度皆為 7，冗餘拘束為 0。這確認了本專案定義的零件與拘束依預期完成組立；它並不能用來判定所有實體鋼琴擊弦機的自由度。

標註了各零件名稱的擊弦機模型，以及從54個自由度中減去12個固定拘束與35個轉動拘束、得出7的計算。
零件名稱與拘束條件。SolidWorks的診斷同樣顯示模型的自由度為7、冗餘拘束為0。

琴鍵輸入的兩項分析

模型分成兩項獨立分析。分析一比較琴鍵速度與琴槌速度，分析二比較施加於琴鍵的力與琴弦反作用力。分開處理這兩組輸入與輸出關係，便能更容易以幾何速度比與槓桿平衡，分析複雜的連桿機構。

為了比較，機構被簡化為轉動構件並進行理論分析。理論值與模擬值若一致，可顯示模型的運動符合設定的尺寸與拘束條件。

兩幅示意圖，表示分析1對應琴鍵與琴槌的線速度，分析2對應施加於琴鍵的力與琴弦的反作用力。
兩項分析的輸入與輸出。分析1比較琴鍵與琴槌的線速度，分析2比較施加於琴鍵的力與琴弦的反作用力。

分析一：從琴鍵速度到琴槌速度

在速度分析中，把複雜的擊弦機簡化為琴鍵、以連動桿為中心的中間機構、琴槌這三個在接觸中傳遞運動的剛體。把運動理解為依序從圖中的①傳到③，由眾多零件構成的機構便可當作三級轉動來計算。

把擊弦機以顏色區分為三個剛體的示意圖：①琴鍵、②以連動桿為中心的中間機構、③琴槌。
為便於分析，把機構簡化為①琴鍵、②中間機構、③琴槌這三個剛體。

同一剛體上的各點具有相同角速度。若以 r 表示至支點的距離、v 表示該點線速度，則 v = ωr。假設速度在每個接觸點都無損地傳至下一個剛體，將三級的「輸出半徑／輸入半徑」依序相乘，再乘以琴鍵速度，即可算出琴槌速度。

vhammer = (r1′ r2′ r3′ / r1 r2 r3) vkey

針對三個剛體，把各支點至輸入點與輸出點的距離標為r1、r1撇、r2、r2撇、r3、r3撇的示意圖。
各支點至輸入與輸出點的距離定義了對應半徑。將三級的「輸出半徑／輸入半徑」相乘，便得到整體速度比。

輸入條件與觀測結果

在SolidWorks Motion Analysis中，於琴鍵末端向下施加5 N，觀測琴鍵末端與琴槌的線速度。開始施力後不久出現的尖峰速度，琴鍵為1,027 mm/s，琴槌為4,284 mm/s。也就是說，在模擬中琴槌的速度約為琴鍵的4.17倍。

琴鍵與琴槌速度隨時間變化的兩幅曲線圖，輸入開始後不久的尖峰分別標為每秒1027公釐與4284公釐。
琴鍵與琴槌的線速度。兩者都在輸入開始後隨即達到最大值，且琴槌一側的速度被放大。
分析1的尖峰速度
物理量與求取方法速度
琴鍵（模擬）1,027 mm/s
琴槌（理論計算）4,614 mm/s
琴槌（模擬）4,284 mm/s

與理論值的比較

自模型上量得的半徑為r1 = 200 mm、r1′ = 88 mm、r2 = 53 mm、r2′ = 78 mm、r3 = 16 mm、r3′ = 111 mm。代入公式之後，理想化的速度比約為4.49倍，據此可預測：對應1,027 mm/s的琴鍵速度，琴槌速度應為4,614 mm/s。

在SolidWorks的3D模型上，標出用於速度比計算的六個半徑實測值的示意圖。
在3D模型上量得的六個半徑。由這些數值算出琴槌的理論速度4,614 mm/s。

模擬得到的琴槌速度為 4,284 mm/s，比理論值低約 7%，但速度放大的程度相近。理論計算使用三個理想化剛體，模擬則表示個別零件。僅憑這個數值差異，無法確定造成落差的原因。

分析二：從琴鍵施力到琴弦反作用力

第二項分析在琴鍵表面向下施加15 N，觀測擊弦時出現於琴弦一側的反作用力。琴鍵一側的輸入Fkey自1.0秒起上升至15 N，而在擊弦的瞬間，琴弦一側的反作用力Vstring出現了最大31 N的尖峰。

琴鍵輸入F key隨時間變化的說明用曲線圖。自1秒起上升，維持15牛頓後回到0牛頓。
琴鍵一側的輸入Fkey。自1.0秒起施力，輸入為15 N。
琴弦一側反作用力V string隨時間變化的說明用曲線圖，在擊弦的瞬間出現31牛頓的尖銳峰值。
琴弦一側的反作用力Vstring。在擊弦的瞬間錄得最大31 N。

為了比較，我們以琴鍵側與琴槌側的力臂長度，進行簡化的槓桿平衡計算。

Vstring = (15 × 195) / 94 = 31.1 N

輸入側力臂長 195 mm、琴弦側力臂長 94 mm，可得到 31.1 N 的靜態槓桿平衡比較值，比模擬峰值 31 N 高 0.1 N。這項靜態計算在什麼條件下能用來比較撞擊瞬間的反作用力峰值，仍待確認。

力平衡示意圖，標出自琴鍵支點至輸入點的195公釐與至琴弦一側作用點的94公釐。
以 15 N 的琴鍵施力與力臂長度進行靜態槓桿平衡比較，得到 31.1 N，接近模擬峰值 31 N。

模擬結果與理論值的對照

兩項比較的結果

分析一的琴槌理論速度為 4,614 mm/s，模擬結果為 4,284 mm/s。分析二的靜態槓桿平衡比較值為 31.1 N，模擬峰值為 31 N。兩項比較中，3D 模型結果都與理論計算相近。

如何解讀差異

理論計算將擊弦機簡化為三個剛體，假設運動與力量透過接觸點無損地傳遞；模擬則表示個別零件。解讀結果時需要考慮這些表示方式的差異，但若要將剩餘落差歸因於能量損失或材料變形，仍須確認模擬設定。

結論

3D 模擬的琴槌速度與琴弦反作用力，均與理論比較值相近。在這些比較範圍內，依剖面圖建立的模型，再現了由設定的幾何與拘束條件所預期的運動與力量傳遞。

本專案串連了數個建模階段：解讀剖面圖、將零件之間的關係轉化為 CAD 拘束，以及依各項分析所需，將組立模型簡化為相應的力學模型。