Такафуми Хориучи

Анализ движения фортепианной механики

Январь 2020

Обзор

Механика рояля — это система рычагов, которая передаёт нажатие клавиши молоточку: он поднимается, ударяет по струне и приводит её в колебание. В этом проекте механика была воссоздана как 3D-модель в SolidWorks*. Анализ движения позволил исследовать, как воздействие на клавишу связано со скоростью молоточка и силой реакции струны.

Механизм был смоделирован с нуля по изображениям, а затем исследован в двух анализах: зависимости скорости молоточка, движущегося вверх, от скорости опускающейся клавиши и зависимости силы реакции струны от силы, приложенной к клавише. Результаты моделирования сравнили с теоретическими значениями, рассчитанными по размерам модели и расположению осей вращения, чтобы проверить передачу движения и силы.

* SolidWorks — система 3D-САПР с инструментами для расчёта конструкций деталей и анализа движения механизмов.

  1. Титульный слайд: Motion Analysis of the Piano Action.
  2. Фотография внутренней части рояля с рядом механизмов за клавишами.
  3. 3D-модель показывает совместное движение деталей механики при нажатии клавиши.
  4. Модель механики в разрезе: нажатие клавиши поднимает молоточек, который ударяет по струне.
  5. Обведение опорного чертежа в разрезе для моделирования каждой детали с нуля в SolidWorks.
  6. Готовая 3D-сборка фортепианной механики в SolidWorks.
  7. Названия деталей и расчёт степеней свободы модели: после наложения связей остаётся 7 степеней свободы.
  8. Две темы анализа: линейные скорости клавиши и молоточка и связь воздействия на клавишу с силой реакции струны.
  9. Точки наблюдения в анализе 1: скорость конца клавиши вниз и скорость молоточка вверх.
  10. Схема, упрощающая фортепианный механизм до трёх вращающихся звеньев.
  11. Вывод связи скоростей клавиши и молоточка через отношения выходных радиусов к входным у трёх вращающихся звеньев.
  12. Условия анализа: сила 5 ньютонов направлена вниз на конец клавиши с 1-й по 2-ю секунду.
  13. Графики скоростей клавиши и молоточка с пиками 1027 и 4284 миллиметра в секунду соответственно.
  14. Сравнение теоретической скорости молоточка 4614 миллиметров в секунду, рассчитанной по измеренным радиусам, со скоростью в моделировании 4284 миллиметра в секунду.
  15. Условия анализа 2: сила 15 ньютонов направлена вниз на клавишу, наблюдается сила реакции со стороны струны.
  16. Сравнение максимальной силы реакции струны 31 ньютон с теоретическим значением 31,1 ньютона по правилу рычага.
  17. Список источников о механических моделях фортепианной механики.
Слайды исходной презентации на английском языке.

От фортепианной механики к модели, пригодной для анализа

Механизм, превращающий одно нажатие в удар по струне

Фортепианная механика преобразует движение клавиши вниз в движение молоточка вверх. При нажатии клавиши совместно движутся регулировочный винт (capstan), промежуточный рычаг (wippen), толкатель (jack) и репетиционный рычаг, поднимая молоточек до удара по струне. Исполнитель делает одно нажатие, но внутри механизма несколько деталей вращаются вокруг разных осей и передают движение через контакт.

В 3D-модель входят клавиша, молоточек, толкатель, промежуточный рычаг, репетиционный рычаг, регулировочный винт, демпфер, рычаг демпфера и проволока, а также несущая рама. Для моделирования движения необходимо было определить ось вращения каждой детали и точки её контакта с другими деталями.

Построение 3D-модели по чертежу в разрезе

Каждая деталь была смоделирована с нуля в 3D путём обведения её контура на чертеже механики в разрезе. Затем детали собрали, задав неподвижные соединения и вращательные шарниры в соответствии с физическим механизмом. Эти связи превратили геометрию в расчётную модель, способную двигаться под действием приложенных сил.

Снимок SolidWorks: полупрозрачный чертёж механики в разрезе и 3D-детали, построенные по его контурам. Слева видны панель задач Windows и дерево компонентов.
Опорный разрез помещён позади как полупрозрачная подложка, и по его контурам в SolidWorks была построена 3D-модель.
SolidWorks в Windows: слева панель задач и дерево компонентов, в центре 3D-модель фортепианной механики.
3D-модель фортепианной механики в том виде, в каком она была построена в SolidWorks.

Проверка степеней свободы сборки

Сборка содержит девять подвижных деталей, не считая неподвижной рамы, — всего 54 степени свободы до наложения связей. Закрепление регулировочного винта и проволоки на других деталях убирает 12 степеней свободы. Вращательные шарниры остальных семи деталей убирают ещё 35, оставляя сборке САПР 7 степеней свободы:

54 − 12 − 35 = 7

Диагностика связей в SolidWorks показала то же самое: расчётное и фактическое число степеней свободы — по 7, избыточных связей — 0. Это не утверждение о степенях свободы фортепианных механик вообще: это подтверждение того, что заданный в проекте набор деталей и связей собран так, как было задумано.

Модель механики с подписями и расчёт степеней свободы: из 54 вычитаются 12, исключённые неподвижными соединениями, и 35, исключённые вращательными шарнирами; остаётся 7.
Названия деталей и связи. Собственная диагностика SolidWorks также дала модели 7 степеней свободы и 0 избыточных связей.

Два анализа — как преобразуется нажатие на клавишу

Модель исследовалась в двух отдельных анализах. В первом сравнивались скорости клавиши и молоточка, во втором — сила, приложенная к клавише, и сила реакции струны. Раздельное рассмотрение этих зависимостей между входом и выходом упростило анализ сложной системы рычагов с помощью геометрических отношений скоростей и условия равновесия рычага.

Для сравнения механизм был упрощён до вращающихся звеньев и исследован теоретически. Близость теоретических значений и результатов моделирования указывала бы на то, что движение модели соответствует заданным размерам и связям.

Две схемы сопоставляют скорости клавиши и молоточка в анализе 1 и силу на клавише и силу реакции струны в анализе 2.
Входы и выходы двух анализов. Анализ 1 сравнивает линейные скорости клавиши и молоточка, анализ 2 — приложенную к клавише силу с силой реакции на струне.

Анализ 1 — насколько скорость клавиши усиливается на молоточке

Для расчёта скоростей механизм был упрощён до трёх твёрдых тел: клавиши, промежуточного механизма на основе промежуточного рычага и молоточка. Рассматривая передачу движения через последовательные контакты от ① к ③, можно анализировать систему как три ступени вращения.

Фортепианная механика разделена цветом на три твёрдых тела: ① клавиша, ② механизм на основе промежуточного рычага, ③ молоточек.
Для анализа механизм был сведён к трём твёрдым телам: ① клавише, ② промежуточному механизму и ③ молоточку.

Все точки одного твёрдого тела имеют одинаковую угловую скорость. Если r — расстояние от оси вращения, а v — линейная скорость точки, то v = ωr. Если предположить, что скорость передаётся между телами без потерь в каждой точке контакта, скорость молоточка можно вычислить, перемножив отношения выходного радиуса к входному для трёх ступеней и умножив результат на скорость клавиши.

vhammer = (r1′ r2′ r3′ / r1 r2 r3) vkey

Схема расстояний от каждой из трёх осей вращения до точек входа и выхода: r1, r1 со штрихом, r2, r2 со штрихом, r3 и r3 со штрихом.
Расстояния от опоры каждого твёрдого тела до его точек входа и выхода приняты за радиусы, и их отношения перемножаются по трём ступеням, давая отношение скоростей.

Условия на входе и результаты наблюдений

В SolidWorks Motion Analysis к концу клавиши была приложена сила 5 Н, направленная вниз, и записаны линейные скорости конца клавиши и молоточка. Сразу после начала приложения силы пиковые скорости составили 1027 мм/с у клавиши и 4284 мм/с у молоточка. Таким образом, в симуляции молоточек двигался примерно в 4,17 раза быстрее клавиши.

Скорости клавиши и молоточка во времени: пики сразу после приложения силы составляют 1027 и 4284 миллиметра в секунду соответственно.
Линейные скорости клавиши и молоточка. Обе достигают максимума сразу после начала воздействия, причём на стороне молоточка скорость усилена.
Пиковые скорости в анализе 1
Что измерено или рассчитаноСкорость
Клавиша (симуляция)1027 мм/с
Молоточек (теоретический расчёт)4614 мм/с
Молоточек (симуляция)4284 мм/с

Сравнение с теоретическим значением

Измеренные на модели радиусы: r1 = 200 мм, r1′ = 88 мм, r2 = 53 мм, r2′ = 78 мм, r3 = 16 мм и r3′ = 111 мм. Подстановка их в формулу даёт идеализированное отношение скоростей около 4,49, что предсказывает скорость молоточка 4614 мм/с при скорости клавиши 1027 мм/с.

Шесть радиусов для расчёта отношения скоростей отмечены на 3D-модели SolidWorks.
Шесть радиусов, измеренных на 3D-модели. По этим значениям была рассчитана теоретическая скорость молоточка 4614 мм/с.

Скорость молоточка в моделировании — 4284 мм/с — оказалась примерно на 7% ниже теоретической, при этом степень увеличения скорости была близкой. Теоретический расчёт использует три идеализированных твёрдых тела, тогда как моделирование представляет отдельные детали. Само численное расхождение не позволяет установить его причину.

Анализ 2 — как сила на клавише проявляется на струне

Во втором анализе к поверхности клавиши была приложена сила 15 Н, направленная вниз, и наблюдалась сила реакции, возникающая со стороны струны в момент удара. Воздействие на клавише Fkey нарастало с 1,0 секунды до 15 Н, а в момент удара сила реакции Vstring дала пик в 31 Н.

Иллюстративный график усилия на клавише F key во времени. Оно начинает расти на 1-й секунде, удерживается на 15 ньютонах и возвращается к нулю.
Воздействие на клавише Fkey. Сила прикладывалась с 1,0 секунды, вход составлял 15 Н.
Иллюстративный график силы реакции струны V string во времени с пиком 31 ньютон при ударе.
Сила реакции со стороны струны Vstring. В момент удара она достигла максимума 31 Н.

Для сравнения был выполнен упрощённый расчёт равновесия рычага с использованием длин плеч со стороны клавиши и молоточка.

Vstring = (15 × 195) / 94 = 31.1 N

При длинах плеч 195 мм со стороны входного воздействия и 94 мм со стороны струны статический расчёт равновесия рычага даёт сравнительное значение 31,1 Н. Это на 0,1 Н больше пика 31 Н, полученного в моделировании. Условия, при которых такой статический расчёт применим к мгновенному пику силы реакции при ударе, ещё требуют подтверждения.

Схема равновесия сил: плечо 195 миллиметров со стороны воздействия на клавишу и 94 миллиметра со стороны струны.
Статический расчёт равновесия рычага при усилии на клавише 15 Н и заданных длинах плеч даёт сравнительное значение 31,1 Н, близкое к пику 31 Н в моделировании.

Сопоставление симуляции с теоретическими значениями

Результаты двух сравнений

В анализе 1 теоретическая скорость молоточка составила 4614 мм/с, а в моделировании — 4284 мм/с. В анализе 2 статический расчёт равновесия рычага дал сравнительное значение 31,1 Н, а моделирование — пик 31 Н. Оба сравнения показали близкое соответствие 3D-модели теоретическим расчётам.

Интерпретация расхождений

Теоретический расчёт сводит механику к трём твёрдым телам и предполагает передачу движения и силы через точки контакта без потерь. Моделирование, в свою очередь, представляет отдельные компоненты. Эти различия важны для интерпретации результатов, но прежде чем связывать оставшееся расхождение с потерями энергии или деформацией материала, необходимо подтвердить настройки моделирования.

Заключение

Результаты 3D-моделирования близко совпали с теоретическими сравнительными значениями скорости молоточка и силы реакции струны. В рамках этих сравнений модель, построенная по чертежу в разрезе, воспроизвела передачу движения и силы, ожидаемую при заданных геометрии и связях.

Проект связал несколько этапов моделирования: чтение чертежа в разрезе, перевод отношений между деталями в связи САПР и упрощение сборки до механической модели, подходящей для каждого анализа.