Takafumi Horiuchi

Analisi del movimento della meccanica del pianoforte

gennaio 2020

Panoramica

La meccanica di un pianoforte a coda è il sistema di leve che trasmette la pressione di un tasto a un martelletto, il quale si solleva, colpisce una corda e la mette in vibrazione. Questo progetto ha ricreato la meccanica come modello 3D in SolidWorks* e ha usato l’analisi del movimento per esaminare come l’azione sul tasto si traduca nella velocità del martelletto e nella forza di reazione della corda.

Il meccanismo è stato modellato da zero a partire da immagini di riferimento e poi esaminato con due analisi: il rapporto tra la velocità di discesa del tasto e quella di salita del martelletto, e il rapporto tra la forza applicata al tasto e la forza di reazione della corda. I risultati della simulazione sono stati confrontati con valori teorici calcolati dalle dimensioni del modello e dalla posizione dei perni, per verificarne la trasmissione del movimento e della forza.

* SolidWorks è un sistema CAD 3D con strumenti per l’analisi strutturale dei componenti e l’analisi del movimento dei meccanismi.

  1. Diapositiva di titolo: «Motion Analysis of the Piano Action».
  2. Fotografia dell’interno di un pianoforte a coda che presenta la fila di meccaniche collocata dietro i tasti.
  3. Modello 3D che mostra come le parti della meccanica si muovano insieme quando si preme un tasto.
  4. Modello in sezione della meccanica del pianoforte che mostra come premere un tasto sollevi il martelletto fino a percuotere la corda.
  5. Il procedimento di ricalcare i contorni di una sezione di riferimento e modellare ogni componente da zero in SolidWorks.
  6. L’assieme 3D completato della meccanica del pianoforte in SolidWorks.
  7. I nomi dei componenti del modello e il calcolo dei gradi di libertà, che dà 7 una volta applicati i vincoli.
  8. I due temi di analisi: le velocità lineari di tasto e martelletto, e il rapporto tra l’input sul tasto e la forza di reazione sulla corda.
  9. I punti di osservazione dell’analisi 1: la velocità discendente all’estremità del tasto e la velocità ascendente del martelletto.
  10. Diagramma che semplifica il meccanismo del pianoforte in tre elementi rotanti.
  11. Derivazione del rapporto tra velocità del tasto e del martelletto dai rapporti tra raggi di uscita e ingresso dei tre elementi rotanti.
  12. Le condizioni dell’analisi: 5 newton applicati verso il basso all’estremità del tasto, da 1 a 2 secondi.
  13. Grafici delle velocità lineari di tasto e martelletto. Le velocità di picco sono di 1.027 e 4.284 millimetri al secondo.
  14. Confronto della velocità teorica del martelletto di 4.614 millimetri al secondo, calcolata dai raggi misurati, con la velocità simulata di 4.284 millimetri al secondo.
  15. Le condizioni dell’analisi 2: 15 newton applicati verso il basso sul tasto, osservando la forza di reazione dal lato della corda.
  16. Confronto tra la forza di reazione massima sulla corda di 31 newton e il valore teorico di 31,1 newton ricavato dal principio della leva.
  17. Elenco dei riferimenti bibliografici sui modelli meccanici della meccanica del pianoforte.
Slide originali della presentazione, in inglese.

Costruire un modello della meccanica del pianoforte per l’analisi

Come la pressione del tasto fa scattare il martelletto

La meccanica del pianoforte converte il movimento discendente di un tasto nel movimento ascendente di un martelletto. Premendo il tasto, pilota, cavalletto, montante di scappamento e leva di ripetizione si muovono insieme, sollevando il martelletto fino a percuotere la corda. L’esecutore compie un solo gesto, ma all’interno del meccanismo diversi componenti ruotano attorno a perni differenti e trasmettono il movimento per contatto.

Il modello 3D comprende tasto, martelletto, montante di scappamento, cavalletto, leva di ripetizione, pilota, smorzatore, leva dello smorzatore e corda, insieme al telaio di supporto. Per modellarne il movimento è stato necessario definire il perno di ogni componente e i suoi punti di contatto con gli altri.

Costruire un modello 3D a partire da un disegno in sezione

Ogni componente è stato modellato da zero in 3D ricalcandone il contorno su un disegno in sezione della meccanica del pianoforte. I componenti sono poi stati assemblati con collegamenti fissi e giunti rotoidali corrispondenti al meccanismo fisico. Definire queste relazioni ha trasformato la geometria in un modello di analisi capace di muoversi sotto l’azione di forze applicate.

Nella finestra di SolidWorks, un disegno in sezione di una meccanica per pianoforte fa da base semitrasparente e sopra i suoi contorni viene costruito il modello 3D. A sinistra si vedono la barra delle applicazioni di Windows e l’albero dei componenti.
La sezione di riferimento è stata collocata sul fondo come base semitrasparente, e il modello 3D è stato costruito in SolidWorks seguendone i contorni.
La finestra di SolidWorks in esecuzione su Windows. A sinistra la barra delle applicazioni di Windows e l’albero dei componenti, al centro il modello 3D della meccanica del pianoforte.
Il modello 3D della meccanica del pianoforte come è stato effettivamente costruito in SolidWorks.

Verificare i gradi di libertà dell’assieme

Escludendo il telaio fisso, l’assieme comprende nove componenti mobili, per un totale di 54 gradi di libertà in assenza di vincoli. Fissare il pilota e la corda ad altri componenti elimina 12 gradi di libertà. I giunti rotoidali dei sette componenti restanti ne eliminano altri 35, lasciando all’assieme CAD 7 gradi di libertà:

54 − 12 − 35 = 7

Anche la diagnostica dei vincoli di SolidWorks ha indicato lo stesso: gradi di libertà stimati ed effettivi entrambi pari a 7, vincoli ridondanti 0. Non è un valore che stabilisca i gradi di libertà delle meccaniche per pianoforte in generale: conferma che l’insieme di componenti e i vincoli definiti in questo progetto sono montati come previsto.

Il modello della meccanica del pianoforte con i nomi dei componenti e il calcolo dei gradi di libertà: dai 54 iniziali se ne sottraggono 12 eliminati dai collegamenti fissi e 35 eliminati dai giunti rotoidali, ottenendo 7.
Nomi dei componenti e vincoli. Anche la diagnostica di SolidWorks ha attribuito al modello 7 gradi di libertà e 0 vincoli ridondanti. Le etichette originali in inglese sono tradotte qui sotto.
Componenti e diagnostica: legenda in italiano

Damper: smorzatore; wire: corda; hammer: martelletto; repetition lever: leva di ripetizione; jack: montante di scappamento; wippen: cavalletto; key: tasto; damper lever: leva dello smorzatore; capstan: pilota (vite di regolazione); frame: telaio.

Il conteggio di Grübler («Gruebler Count») stima i gradi di libertà («DOF»): 9 parti mobili corrispondono a 54 gradi di libertà; 7 giunti rotoidali ne sottraggono 35 e 2 giunti fissi ne sottraggono 12. Il totale stimato è 7, il totale effettivo è 7 e i vincoli ridondanti sono 0.

Due analisi dell’azione sul tasto

Il modello è stato esaminato mediante due analisi separate. L’analisi 1 confrontava la velocità del tasto con quella del martelletto. L’analisi 2 confrontava la forza applicata al tasto con la forza di reazione della corda. Separare queste relazioni tra ingresso e uscita ha reso più semplice analizzare il complesso sistema di leve usando rapporti geometrici di velocità ed equilibrio delle leve.

Per il confronto, il meccanismo è stato semplificato in elementi rotanti e analizzato teoricamente. Un accordo tra valori teorici e simulati avrebbe indicato che il movimento del modello era coerente con le dimensioni e i vincoli specificati.

Due diagrammi che mostrano come l’analisi 1 metta a confronto le velocità lineari di tasto e martelletto e l’analisi 2 la forza applicata al tasto con la forza di reazione sulla corda.
Ingressi e uscite delle due analisi. L’analisi 1 confronta le velocità lineari di tasto e martelletto; l’analisi 2 confronta la forza applicata al tasto con la forza di reazione sulla corda. Nelle etichette, vkey indica la velocità del tasto, vhammer quella del martelletto, Fkey la forza sul tasto e Vstring la forza di reazione della corda. Le figure estratte dalle slide conservano la notazione originale.

Analisi 1: dalla velocità del tasto a quella del martelletto

Per il calcolo delle velocità, la meccanica è stata semplificata in tre corpi rigidi: il tasto, un meccanismo intermedio incentrato sul cavalletto e il martelletto. Trattare il movimento come una sequenza di contatti da ① a ③ ha permesso di analizzare il sistema come tre stadi di rotazione.

Meccanica del pianoforte suddivisa per colore in tre corpi rigidi: ① il tasto, ② il meccanismo intermedio incentrato sul cavalletto e ③ il martelletto.
Per l’analisi, il meccanismo è stato semplificato in tre corpi rigidi: ① il tasto, ② il meccanismo intermedio e ③ il martelletto.

Tutti i punti di un corpo rigido hanno la stessa velocità angolare. Indicando con r la distanza dal perno e con v la velocità lineare in quel punto, vale v = ωr. Supponendo che a ogni punto di contatto la velocità si trasmetta tra i corpi senza perdite, la velocità del martelletto si calcola moltiplicando i rapporti tra raggio d’uscita e raggio d’ingresso dei tre stadi, quindi moltiplicando il prodotto per la velocità del tasto.

vhammer = (r1′ r2′ r3′ / r1 r2 r3) vkey

Diagramma che indica, per i tre corpi rigidi, le distanze da ciascun perno ai punti di ingresso e di uscita come r1, r1 primo, r2, r2 primo, r3 e r3 primo.
La distanza tra ogni perno e i suoi punti di ingresso e uscita definisce i raggi. Moltiplicando i tre rapporti tra raggio d’uscita e raggio d’ingresso si ottiene il rapporto complessivo di velocità.

Condizioni di ingresso e risultati

In SolidWorks Motion Analysis sono stati applicati 5 N verso il basso all’estremità del tasto e sono state rilevate le velocità lineari dell’estremità del tasto e del martelletto. Subito dopo l’inizio dell’applicazione della forza, le velocità di picco sono state di 1.027 mm/s per il tasto e di 4.284 mm/s per il martelletto. Nella simulazione, dunque, il martelletto si è mosso circa 4,17 volte più velocemente del tasto.

Velocità del tasto e del martelletto in funzione del tempo, con picchi subito dopo l’applicazione della forza pari rispettivamente a 1.027 e 4.284 millimetri al secondo.
Le velocità del tasto e del martelletto raggiungono entrambe il picco subito dopo l’applicazione della forza. Il martelletto raggiunge la velocità maggiore.
Velocità di picco dell’analisi 1
Grandezza e metodoVelocità
Tasto (simulazione)1.027 mm/s
Martelletto (calcolo teorico)4.614 mm/s
Martelletto (simulazione)4.284 mm/s

Confronto con il valore teorico

I raggi misurati sul modello sono r1 = 200 mm, r1′ = 88 mm, r2 = 53 mm, r2′ = 78 mm, r3 = 16 mm e r3′ = 111 mm. Sostituendoli nell’equazione, il rapporto di velocità idealizzato risulta di circa 4,49 volte, il che prevede una velocità del martelletto di 4.614 mm/s a fronte di una velocità del tasto di 1.027 mm/s.

Diagramma che indica, sul modello 3D di SolidWorks, i sei raggi misurati usati nel calcolo del rapporto di velocità.
I sei raggi misurati sul modello 3D. Da questi valori è stata calcolata la velocità teorica del martelletto di 4.614 mm/s.

La velocità simulata del martelletto, pari a 4.284 mm/s, era circa il 7% inferiore al valore teorico, pur mostrando un’amplificazione della velocità di entità simile. Il calcolo teorico usa tre corpi rigidi idealizzati, mentre la simulazione rappresenta i singoli componenti. La sola differenza numerica non ne dimostra la causa.

Analisi 2: dalla forza sul tasto alla forza di reazione della corda

Nella seconda analisi sono stati applicati 15 N verso il basso sulla superficie del tasto, registrando la forza di reazione della corda all’impatto. La forza d’ingresso sul tasto, Fkey, iniziava ad aumentare a 1,0 secondi fino a raggiungere 15 N. La forza di reazione, Vstring, raggiungeva un picco di 31 N quando il martelletto colpiva la corda.

Grafico esplicativo dell’ingresso sul tasto F key in funzione del tempo. Cresce a partire da 1 secondo, si mantiene a 15 newton e torna a 0 newton.
La forza applicata al tasto, Fkey, inizia a 1,0 secondi e raggiunge 15 N.
Grafico esplicativo della forza di reazione dal lato della corda V string in funzione del tempo, con un picco acuto di 31 newton nell’istante della percussione.
La forza di reazione della corda, Vstring, raggiunge un picco di 31 N all’impatto.

Per il confronto è stato eseguito un calcolo semplificato dell’equilibrio della leva, usando le lunghezze dei bracci dal lato del tasto e del martelletto.

Vstring = (15 × 195) / 94 = 31.1 N

Usando bracci di 195 mm dal lato dell’ingresso e di 94 mm dal lato della corda, il calcolo statico dell’equilibrio della leva fornisce un valore di confronto di 31,1 N, superiore di 0,1 N al picco simulato di 31 N. Restano da confermare le condizioni nelle quali questo calcolo statico possa essere applicato al picco istantaneo della forza di reazione all’impatto.

Diagramma dell’equilibrio delle forze che mostra la distanza di 195 millimetri dal perno del tasto al punto di ingresso e di 94 millimetri fino al punto di applicazione dal lato della corda.
Il calcolo statico dell’equilibrio della leva, con 15 N applicati al tasto e le lunghezze dei bracci indicate, dà 31,1 N: un valore vicino al picco simulato di 31 N.

Confronto fra simulazione e valori teorici

Risultati dei due confronti

Nell’analisi 1, la velocità teorica del martelletto era di 4.614 mm/s, contro i 4.284 mm/s della simulazione. Nell’analisi 2, il valore di confronto dell’equilibrio statico della leva era di 31,1 N, contro un picco simulato di 31 N. Entrambi i confronti mostravano valori vicini tra il modello 3D e i calcoli teorici.

Interpretare le differenze

Il calcolo teorico riduce la meccanica a tre corpi rigidi e assume che movimento e forza si trasmettano senza perdite nei punti di contatto. La simulazione rappresenta invece i singoli componenti. Questa differenza di rappresentazione è rilevante per interpretare i risultati, ma per attribuire lo scarto residuo a perdite di energia o deformazione dei materiali occorre confermare le impostazioni della simulazione.

Conclusione

La simulazione 3D ha fornito valori vicini ai confronti teorici per la velocità del martelletto e la forza di reazione della corda. Entro i limiti di questi confronti, il modello costruito dal disegno in sezione ha riprodotto la trasmissione del movimento e della forza attesa dalle geometrie e dai vincoli specificati.

Il progetto ha collegato diverse fasi di modellazione: interpretare un disegno in sezione, tradurre le relazioni tra i componenti in vincoli CAD e semplificare l’assieme in un modello meccanico adatto a ciascuna analisi.