Takafumi Horiuchi

Análisis del movimiento del mecanismo de un piano

enero de 2020

Visión general

El mecanismo de un piano de cola es el sistema de palancas que transmite la pulsación de una tecla a un macillo, que asciende hasta golpear una cuerda y hacerla vibrar. Este proyecto recreó el mecanismo como un modelo 3D en SolidWorks* y utilizó el análisis del movimiento para examinar cómo la acción sobre la tecla se traduce en velocidad del macillo y fuerza de reacción en la cuerda.

El mecanismo se modeló desde cero a partir de imágenes de referencia y se estudió mediante dos análisis: la relación entre la velocidad de descenso de la tecla y la de ascenso del macillo, y la relación entre la fuerza aplicada a la tecla y la fuerza de reacción de la cuerda. Los resultados de la simulación se compararon con valores teóricos calculados a partir de las dimensiones y los puntos de giro del modelo para comprobar cómo transmitía el movimiento y la fuerza.

* SolidWorks es un sistema de CAD 3D con herramientas de análisis estructural de piezas y de análisis del movimiento de mecanismos.

  1. Diapositiva de título: «Motion Analysis of the Piano Action».
  2. Fotografía del interior de un piano de cola que presenta la fila de mecanismos situada detrás de las teclas.
  3. Modelo 3D que muestra cómo se mueven conjuntamente las piezas del mecanismo al pulsar una tecla.
  4. Modelo en sección del mecanismo del piano que muestra cómo la pulsación de una tecla eleva el macillo para golpear la cuerda.
  5. Trazado sobre un dibujo de referencia en sección para modelar cada pieza desde cero en SolidWorks.
  6. Ensamblaje 3D completo del mecanismo del piano en SolidWorks.
  7. Nombres de las piezas y cálculo de los grados de libertad del modelo: quedan 7 grados de libertad tras aplicar las restricciones.
  8. Los dos temas de análisis: las velocidades lineales de la tecla y del macillo, y la relación entre la fuerza aplicada a la tecla y la fuerza de reacción de la cuerda.
  9. Puntos de observación del análisis 1: la velocidad de descenso del extremo de la tecla y la de ascenso del macillo.
  10. Diagrama que simplifica el mecanismo del piano en tres elementos giratorios.
  11. Deducción de la relación entre las velocidades de la tecla y del macillo a partir de los cocientes entre los radios de salida y entrada de tres elementos giratorios.
  12. Condiciones del análisis: una fuerza descendente de 5 newtons aplicada al extremo de la tecla entre los segundos 1 y 2.
  13. Gráficos de las velocidades de la tecla y del macillo, con máximos de 1027 y 4284 milímetros por segundo, respectivamente.
  14. Comparación de la velocidad teórica del macillo de 4614 milímetros por segundo, calculada a partir de los radios medidos, con la velocidad simulada de 4284 milímetros por segundo.
  15. Condiciones del análisis 2: una fuerza descendente de 15 newtons aplicada a la tecla, observando la fuerza de reacción en el lado de la cuerda.
  16. Comparación entre la fuerza máxima de reacción de la cuerda de 31 newtons y el valor teórico de 31,1 newtons obtenido mediante el principio de la palanca.
  17. Lista de referencias sobre modelos mecánicos del mecanismo del piano.

Construcción de un modelo del mecanismo para el análisis

Cómo una pulsación hace que el macillo golpee la cuerda

El mecanismo del piano convierte el movimiento descendente de una tecla en el movimiento ascendente de un macillo. Al pulsar una tecla, el pilotín, la báscula, la palanca de escape y la palanca de repetición se mueven conjuntamente y elevan el macillo hasta que golpea la cuerda. El pianista realiza una sola pulsación, pero dentro del mecanismo varias piezas giran alrededor de distintos ejes y transmiten el movimiento por contacto.

El modelo 3D incluye la tecla, el macillo, la palanca de escape, la báscula, la palanca de repetición, el pilotín, el apagador, la palanca del apagador y el alambre, junto con su bastidor de soporte. Para modelar el movimiento, hubo que definir el punto de giro de cada pieza y sus puntos de contacto con las demás.

Construcción del modelo 3D a partir de un dibujo en sección

Cada pieza se modeló desde cero en 3D trazando su contorno sobre un dibujo en sección del mecanismo del piano. Después se ensamblaron las piezas mediante uniones fijas y articulaciones de giro correspondientes al mecanismo físico. Definir estas relaciones convirtió la geometría en un modelo de análisis capaz de moverse bajo las fuerzas aplicadas.

Captura de SolidWorks que muestra un dibujo semitransparente en sección de un mecanismo de piano, con las piezas 3D modeladas sobre sus contornos. A la izquierda aparecen la barra de tareas de Windows y el árbol de componentes.
Se utilizó un dibujo de referencia en sección como fondo semitransparente para trazar y modelar las piezas en SolidWorks.
SolidWorks en Windows, con la barra de tareas y el árbol de componentes a la izquierda y el modelo 3D del mecanismo del piano en el centro.
Modelo 3D completo del mecanismo del piano en SolidWorks.

Verificación de los grados de libertad del ensamblaje

El ensamblaje contiene nueve piezas móviles, sin contar el bastidor fijo, con un total de 54 grados de libertad antes de aplicar restricciones. Fijar el pilotín y el alambre a otras piezas elimina 12 grados de libertad. Las articulaciones de giro de las siete piezas restantes eliminan otros 35, de modo que el ensamblaje CAD queda con 7 grados de libertad:

54 − 12 − 35 = 7

El diagnóstico de restricciones de SolidWorks también indicó 7 grados de libertad estimados y 7 reales, con 0 restricciones redundantes. Esto confirmó que las piezas y las restricciones definidas para este proyecto se habían ensamblado según lo previsto; no determina los grados de libertad de todos los mecanismos de piano físicos.

Modelo rotulado del mecanismo del piano y cálculo de sus grados de libertad: a 54 se restan los 12 eliminados por uniones fijas y los 35 eliminados por articulaciones de giro, y quedan 7.
Nombres de las piezas y restricciones del ensamblaje. El diagnóstico de SolidWorks indicó 7 grados de libertad y 0 restricciones redundantes.

Dos análisis de la acción sobre la tecla

El modelo se estudió mediante dos análisis independientes. El análisis 1 comparó la velocidad de la tecla con la del macillo. El análisis 2 comparó la fuerza aplicada a la tecla con la fuerza de reacción de la cuerda. Separar estas relaciones entre entrada y salida facilitó el estudio del complejo sistema de palancas mediante relaciones geométricas de velocidades y equilibrio de palancas.

Para establecer una comparación, el mecanismo se simplificó en elementos giratorios y se analizó teóricamente. La concordancia entre los valores teóricos y simulados indicaría que el movimiento del modelo era coherente con las dimensiones y restricciones especificadas.

Dos diagramas relacionan las velocidades de la tecla y del macillo en el análisis 1, y la fuerza aplicada a la tecla y la fuerza de reacción de la cuerda en el análisis 2.
Las dos comparaciones entre entrada y salida: velocidad de la tecla frente a velocidad del macillo en el análisis 1, y fuerza aplicada a la tecla frente a fuerza de reacción de la cuerda en el análisis 2.

Análisis 1: de la velocidad de la tecla a la del macillo

Para calcular las velocidades, el mecanismo se simplificó en tres cuerpos rígidos: la tecla, un mecanismo intermedio centrado en la báscula y el macillo. Tratar el movimiento como una secuencia de contactos de ① a ③ permitió analizar el conjunto como tres etapas de rotación.

El mecanismo del piano se divide por colores en tres cuerpos rígidos: ① la tecla, ② el mecanismo intermedio centrado en la báscula y ③ el macillo.
El modelo simplificado consta de tres cuerpos rígidos: ① la tecla, ② el mecanismo intermedio y ③ el macillo.

Todos los puntos de un cuerpo rígido comparten la misma velocidad angular. Si r es la distancia al eje de giro y v la velocidad lineal en ese punto, entonces v = ωr. Suponiendo que la velocidad se transmite entre los cuerpos sin pérdidas en cada punto de contacto, la velocidad del macillo puede calcularse multiplicando los cocientes entre los radios de salida y entrada de las tres etapas y, después, multiplicando ese producto por la velocidad de la tecla.

vhammer = (r1′ r2′ r3′ / r1 r2 r3) vkey

Diagrama con las distancias de cada uno de los tres ejes de giro a sus puntos de entrada y salida, rotuladas r1, r1 prima, r2, r2 prima, r3 y r3 prima.
La distancia de cada eje de giro a sus puntos de entrada y salida define los radios. El producto de los tres cocientes entre radios de salida y entrada da la relación total de velocidades.

Condiciones de entrada y resultados

En SolidWorks Motion Analysis se aplicó una fuerza descendente de 5 N al extremo de la tecla. Se registraron las velocidades lineales del extremo de la tecla y del macillo. Inmediatamente después de iniciarse la fuerza, sus velocidades máximas fueron de 1027 mm/s y 4284 mm/s, respectivamente, lo que da una relación simulada entre la velocidad del macillo y la de la tecla de aproximadamente 4,17.

Velocidades de la tecla y del macillo a lo largo del tiempo, con máximos de 1027 y 4284 milímetros por segundo, respectivamente, justo después de aplicar la fuerza.
Las velocidades de la tecla y del macillo alcanzan su máximo justo después de aplicar la fuerza. El macillo alcanza la velocidad más alta.
Velocidades máximas en el análisis 1
Magnitud y métodoVelocidad
Tecla (simulación)1027 mm/s
Macillo (teoría)4614 mm/s
Macillo (simulación)4284 mm/s

Comparación con la teoría

Los radios medidos fueron r1 = 200 mm, r1′ = 88 mm, r2 = 53 mm, r2′ = 78 mm, r3 = 16 mm y r3′ = 111 mm. Sustituyendo estos valores se obtiene una relación idealizada de velocidades de aproximadamente 4,49. Para una velocidad de la tecla de 1027 mm/s, la velocidad prevista del macillo es de 4614 mm/s.

Los seis radios utilizados para calcular la relación de velocidades, señalados en el modelo 3D de SolidWorks.
Los seis radios medidos en el modelo 3D, utilizados para calcular la velocidad teórica del macillo de 4614 mm/s.

La velocidad simulada del macillo de 4284 mm/s fue aproximadamente un 7 % inferior al valor teórico, aunque mostró un grado de amplificación de velocidad similar. El cálculo teórico utiliza tres cuerpos rígidos idealizados, mientras que la simulación representa las piezas individuales. La diferencia numérica, por sí sola, no permite determinar su causa.

Análisis 2: de la fuerza sobre la tecla a la fuerza de reacción de la cuerda

En el segundo análisis se aplicó una fuerza descendente de 15 N a la superficie de la tecla y se registró la fuerza de reacción de la cuerda en el impacto. La fuerza sobre la tecla, Fkey, comenzó a aumentar en el segundo 1,0 y alcanzó 15 N. La fuerza de reacción, Vstring, alcanzó un máximo de 31 N cuando el macillo golpeó la cuerda.

Gráfico ilustrativo de la fuerza sobre la tecla, F key, a lo largo del tiempo. Comienza a aumentar en el segundo 1, se mantiene en 15 newtons y vuelve a cero.
La fuerza aplicada a la tecla, Fkey, comienza en el segundo 1,0 y alcanza 15 N.
Gráfico ilustrativo de la fuerza de reacción de la cuerda, V string, a lo largo del tiempo, con un máximo de 31 newtons en el impacto.
La fuerza de reacción de la cuerda, Vstring, alcanza un máximo de 31 N en el impacto.

Como comparación, se realizó un cálculo simplificado de equilibrio de palancas utilizando las longitudes de los brazos de los lados de la tecla y del macillo.

Vstring = (15 × 195) / 94 = 31.1 N

Con brazos de 195 mm en el lado de entrada y 94 mm en el lado de la cuerda, el cálculo estático de equilibrio de palancas da un valor de comparación de 31,1 N. Es 0,1 N superior al máximo simulado de 31 N. Aún deben confirmarse las condiciones en las que este cálculo estático puede aplicarse al máximo instantáneo de la fuerza de reacción durante el impacto.

Diagrama de equilibrio de fuerzas que muestra un brazo de 195 milímetros en el lado de la fuerza aplicada a la tecla y uno de 94 milímetros en el lado de la cuerda.
La comparación estática mediante equilibrio de palancas, con una fuerza de 15 N sobre la tecla y las longitudes de los brazos, da 31,1 N, próximo al máximo simulado de 31 N.

Comparación de la simulación con la teoría

Resultados de las dos comparaciones

En el análisis 1, la velocidad teórica del macillo fue de 4614 mm/s, frente a 4284 mm/s en la simulación. En el análisis 2, el valor de comparación estático obtenido por equilibrio de palancas fue de 31,1 N, frente a un máximo simulado de 31 N. Ambas comparaciones mostraron una concordancia estrecha entre el modelo 3D y los cálculos teóricos.

Interpretación de las diferencias

El cálculo teórico reduce el mecanismo a tres cuerpos rígidos y supone que el movimiento y la fuerza se transmiten por sus puntos de contacto sin pérdidas. La simulación, en cambio, representa los componentes individuales. Estas diferencias de representación son importantes para interpretar los resultados, pero atribuir la discrepancia restante a pérdidas de energía o a la deformación de materiales requiere confirmar los ajustes de la simulación.

Conclusión

Los resultados de la simulación 3D concordaron estrechamente con los valores teóricos de la velocidad del macillo y la fuerza de reacción de la cuerda. Dentro del alcance de estas comparaciones, el modelo construido a partir de un dibujo en sección reprodujo la transmisión de movimiento y fuerza esperada según la geometría y las restricciones especificadas.

El proyecto conectó varias etapas del modelado: interpretar un dibujo en sección, traducir las relaciones entre piezas a restricciones CAD y simplificar el ensamblaje en un modelo mecánico adecuado para cada análisis.